Q11. दी गई आकृति में वृत्त का केंद्र O है यदि ∠OBA = 30° तथा ∠OCA = 25° हो, तो ∠BAC कितना होगा ?
हल :- त्रिभुज AOB में,
∠OBA = ∠BAO = 30 [∵ OA = OB]
इसी प्रकार त्रिभुज AOC में, ∠OAC = 25°
∠BAC = ∠BAO + ∠OAC = 55°
if ANY DOUBT, PLEASE COMMENT
Q12. दी गई आकृति में वृत्त का केंद्र O है, AOB वृत्त का व्यास है तथा ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है यदि ∠ADC = 130° हो, तो ∠BAC = ?
हल :- जेसा कि हमने Important Properties of Circles in Hindi में पढ़ा ‘चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग 180 होता है’
इसलिए ∠ADC + ∠CBA = 180 और ∠DAB + ∠BCD = 180
130 + ∠CBA = 180 ⇒ ∠CBA = 50
समकोण त्रिभुज ACB में,
∠BAC + ∠ACB + ∠CBA = 180°
∠BAC + 90 + 50 = 180° ⇒ ∠BAC = 40°
Q13. दी गई आकृति में वृत्त का केंद्र O है तथा ∠ADC = 130° तब ∠ABC = ?
हल :- बिंदु A को और बिंदु C को एक अन्य बिंदु D से ∠AOC के पीछे मिलाओ
(1/2)∠AOC = ∠ADC ⇒ ∠ADC = 65°
∠ABC + ∠ADC = 180° क्योकि चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग 180° होता है
∠ABC + 65 = 180 ⇒ ∠ABC = 115°
Q14. दी गई आकृति में एक वृत्त के अंतर्गत समबाहु त्रिभुज ΔABC खीची गई है तथा ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है इसमें ∠BCD का माप क्या होगा ?
हल :- ∠BAD + ∠BCD = 180° क्योकि चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग 180° होता है
60 + ∠BCD = 180° [∵समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60 होता है]
∠BCD = 120°
Q15. दी गई आकृति में एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजाओ AB तथा AD को क्रमशः E तथा F तक बढ़ाया गया है यदि ∠CBE = 110° हो, तो ∠CDF = ?
हल :- ∠CBA + ∠CBE = 180° ⇒ ∠CBA = 70°
∠ADC + ∠CBA = 180° क्योकि चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग 180° होता है
∠ADC + 70 = 180° ⇒ ∠ADC = 110°
∠ADC + ∠CDF = 180° ⇒ ∠CDF = 70°
Q16. दी गई आकृति में यदि ∠A = (2x + 4)°, ∠B = (x + 10)°, ∠C = (4y – 4)° तथा ∠D = (5y + 5)° हो, तो
हल :- चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग 180° होता है
∠A + ∠C = 180 और ∠B + ∠D = 180
(2x + 4)° + (4y – 4)° = 180
2x + 4y = 180 ……………. 1
(x + 10)° + (5y + 5)° = 180
x + 5y = 165 ……………. 2
समीकरण 1 और 2 से,
[2x + 4y = 180] – [2x + 10y = 330]
-6y = -150 ⇒ y = 25 और x = 40
Q17. दी गई आकृति में वृत्त का केंद्र O है तथा ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है यदि AB ∥ DC हो तथा ∠CAD का मान कितना होगा ?
हल :- ∠ACB = 90 [∵ अर्द्धवृत्त में बना कोण]
∠A + ∠C = 180 और ∠B + ∠D = 180° [∵ चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग 180° होता है]
∠CAB = ∠ACD = 25° क्योकि एकांतर कोण
(x + 25) + (25 + 90) = 180 ⇒ x = 40°
∠CAD = x = 40°
Q18. दिये गये वृत्त का केंद्र O है इसमें जीवा AB = 16 cm, OC ⊥ AB तथा OC = 6 cm इस वृत्त की त्रिज्या कितनी है ?
हल :- समकोण त्रिभुज OCA में,
(OC)2 + (AC)2 = (OA)2 ⇒ (6)2 + (8)2 = (OA)2
OA = 10 cm
ie. वृत्त की त्रिज्या (OA) = 10 cm
Q19. एक वृत्त की दो समांतर जीवाओ की लम्बाई क्रमशः 6 cm तथा 8 cm है दोनों जीवाये केंद्र से नीचे है तथा इनके बीच की दूरी 1 cm है वृत्त की त्रिज्या कितनी है ?
हल :- AE = EB = 4 cm, CF = FD = 3 cm
समकोण त्रिभुज OFC में,
(OF)2 + (FC)2 = (OC)2 ⇒ (x + 1)2 + 9 = (OC)2 …………. 1
इसी प्रकार समकोण त्रिभुज OEA में,
(OE)2 + (EA)2 = (OA)2 ⇒ (x)2 + 16 = (OA)2 …………. 2
(x + 1)2 + 9 = (x)2 + 16 क्योकि OA = OC = वृत्त की त्रिज्या है
x2 + 1 + 2x + 9 = x2 + 16 ⇒ x = 3 cm
x का मान समीकरण 2 में रखने पर, OA = 5
वृत्त की त्रिज्या OA = 5 cm
Q20. किसी वृत्त की त्रिज्या 5 cm है केंद्र के विपरीत दो समांतर जीवाओ की लम्बाईया क्रमशः 8 cm तथा 6 cm है इन जीवाओ के बीच की दूरी कितनी है ?
हल :- AE = EB = 4 cm, CF = FD = 3 cm और AO = CO = 5 cm
समकोण त्रिभुज AEO में,
(AE)2 + (EO)2 = (AO)2 ⇒ (4)2 + (EO)2 = (5)2
EO = 3 cm
इसी प्रकार समकोण त्रिभुज OFC में,
OF = 4 cm
जीवाओ के बीच की दूरी (EF) = EO + OF = 7 cm
