Surds and Indices Formula – घातांक के नियम

घातांक के सवाल को Surds and Indices Formula यानि घातांक के नियम और सूत्रो से निम्नलिखित 8 सवालों को केवल कुछ ही सेकंड में हल किया गया है –

माना a एक परिमेय संख्या है तथा n एक धन पूर्णाक है यदि a का n व मूल एक अपरिमेय राशि हो तो a^(1/n) = ⁿ√a को घात n की करणी कहा जाता है

उदाहरण :

1. √9 = (9)^1/2 , एक द्वितीय घात की करणी है (क्योकि यहा पर चर की घात शून्य है)
2. ⁴√5 = (5)^1/4 , एक करणी है जिसकी घात 4 है

घातांक के नियम (Law of Indices) :

1. a^m × aⁿ = a^mn
2. (a^m) ÷ (aⁿ) = a^{(m – n)}
3. (a^m)ⁿ = a^mn
4. (ab)ⁿ = (aⁿ × aⁿ)
5. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
6. a⁰ = 1

करणी के नियम (Laws of Surds) :

1. (ⁿ√a)ⁿ = (a^1/n)ⁿ = a
2. ⁿ√ab = ⁿ√a . ⁿ√b
3. ^m√ⁿ√a = ^mn√a
4. ⁿ√(a/b) = ⁿ√a/ⁿ√b
5. (ⁿ√a)^m = ⁿ√a^m

घातांक के सवाल –

Q1. सरल कीजिए – (1/64)^(-2/3)

(1/64)^(-2/3) = 1/(1/64)^(2/3)

= (64)^(2/3)

= (4×4×4)^(2/3)

= (4)²

= 16

Q2. (0.00032)^0.6 = ?

= (32/100000)^(6/10)

= (32/100000)^(3/5)

= (2/10)^5(3/5)

= (2/10)³

= 8/1000

= 0.008

Q3. [(625)^6.25 × (25)^2.6 ] / [(625)^6.75 × (5)^1.2] = ?

= [(5⁴)^625/100 × (5²)^26/10 ] / [(5⁴)^675/100 × (5¹)^12/10 ]

= [(5)^625/25 × (5)^5.2] / [(5)^675/25 × (5)^1.2]

= [(5)^{25 + 5.2}] / [(5)^{27 + 1.2}]

= (5)^30.2 / (5)^28.2

= (5)^{30.2 – 28.2}

= (5)²

= 25

Q4. यदि (√3)⁵ × 9² = 3ⁿ × 3√3 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए

(3)^5/2 × (3)⁴ = 3ⁿ × 3^3/2

3^{5/2 + 4} = 3^{n + 3/2}

5/2 + 4 = n + 3/2

n = 5

Q5. सरल कीजिए : (x^a / x^b)^(a2+ab+b2) . (x^b / x^c)^(b2+bc+c2) . (x^c / x^a)^(c2+ca+a2)

= (x^{a-b)(aa+ab+bb)} . (x^b-c)^(bb+bc+cc) . (x^c-a)^(cc+ca+aa)

= (x)^{(aaa – bbb)} . (x)^{(bbb – ccc)} . (x)^{(ccc – aaa)}

= (x)^{aaa – bbb + bbbb – ccc + ccc – aaa}

= (x)⁰

= 1

Q6. √2 तथा ³√3 में से कोन-सा बड़ा है ?

√2 = (2)^1/2 और ³√3 = (3)^1/3

(2^1/2)⁶ = 8 और (3^1/3)⁶ = 9 [∵ दोनों की घात 6 = lcm (2,3) लेने पर]

8 < 9 इसलिए √2 < ³√3

Q7. √2, ³√4, ⁴√6 को आरोही क्रम में लिखिए

(2)^1/2 , (4)^1/3 , (6)^1/4

(2^1/2)¹² , (4^1/3)¹² , (6^1/4)¹² [∵ दोनों की घात 12 = lcm (2,3,4) लेने पर]

(2⁶), (4⁴), (6³)

(4³), (4⁴), (6³) और 64, 256, 216

∴ √2 < ⁴√6 < ³√4

Q8. यदि 3^{x – y} = 27 तथा 3^{x + y} = 243 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए

3^{x – y} = 27 ⇒ 3^{x – y} = 3³

x – y = 3 ………………….. 1

3^{x + y} = 243 ⇒ 3^{x + y} = 3⁵

x + y = 5 ………………….. 2

समीकरण 1 और 2 को हल करने पर

x = 4 और y = 1

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