Q11. (256 × 256 – 144 × 144) / 112 = ?
हल –
माना a = 256 तथा b = 144 तब (a2 – b2) / (a – b) = ?
हम जानते है कि a2 – b2 = (a – b)(a + b)
∴ (a2 – b2) / (a – b) = (a + b)
= 256 + 144
= 400
Q12. यदि a तथा b ऐसे धन पूर्णाक है कि a2 – b2 = 19 है तो a का मान क्या होगा ?
a2 – b2 = 19
(a – b)(a + b) = 19
(a – b)(a + b) = 19 × 1
∴ (a – b) = 19, (a + b) = 1
उपरोक्त दोनों समीकरण को जोड़ने पर
a = 10 और b = -9
Q13. (461 + 462 + 463 + 464) निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है ?
(a) 3 (b) 10 (c) 11
हल –
(461 + 462 + 463 + 464)
= 461(1 + 41 + 42 + 43)
= 461(1 + 4 + 16 + 64)
= 461 × 85
उपरोक्त संख्या 5 से विभाजित होगी लेकिन किसी भी आप्शन में 5 नही है
= 460 × 4 × 85
= 460 × 340
∴ उपरोक्त संख्या 10 से विभाजित होगी
Q14. यदि n एक सम संख्या है, तो (6n – 1) निम्नलिखित में से किससे पूर्णतया विभक्त होगा ?
(a) 30 (b) 35 (c) 36
हल –
यदि n एक सम संख्या है तो n = 2 रखने पर (62 – 1) = 35
यदि n एक सम संख्या है तो n = 4 रखने पर (64 – 1) = 1295 = 35 × 37
∴ (6n – 1) संख्या 35 से पूर्णतया विभाजित हो जाता है
Q15. संख्या (13)2003 में इकाई का अंक कितना है ?
संख्या (13)2003 में इकाई का अंक = (3)2003 का इकाई अंक
(3)2003 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 3 की घात 4 = 81 के बराबर होता है और अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है
(3)2003 = 3(500×4)+3
= 3(4×500) × 33 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}
= (34)500 × 33
(34 = 81) में इकाई का अंक 1 होती है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा
(33 = 27) में इकाई का अंक 7 है
∴ संख्या (13)2003 में इकाई का अंक 1 × 7 = 7 होगा
Q16. संख्या (22)23 में इकाई का अंक कितना है ?
संख्या (22)23 में इकाई का अंक = (2)23 का इकाई अंक
(2)23 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 3 की घात 4 = 81 के बराबर होता है और अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है लेकिन अंक 2 की ऐसी कोई घात नही है जिसके इकाई का अंक 1 हो इसलिए यहा पर हम
(2)23 = 2(4×5)+3
= 2(4×5) × 23 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}
= (24)5 × 23
(24 = 16) में इकाई का अंक 6 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 6 ही रहेगा
(23 = 8) में इकाई का अंक 8 है
∴ संख्या (2)23 में इकाई का अंक (6 × 8 = 48) 8 होगा
Q17. (7)105 संख्या में इकाई का अंक कितना है ?
(7)105 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है इसलिए
(7)105 = 7(4×26)+1
= 7(4×26) × 71 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}
= (74)26 × 71
(74 = 2401) में इकाई का अंक 1 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा
(71 = 7) में इकाई का अंक 7 है
∴ संख्या (7)105 में इकाई का अंक 1 × 7 = 7 होगा
Q18. (584 × 328 × 547 × 613) में इकाई का अंक कितना है ?
इस प्रकार की संख्या (584 × 328 × 547 × 613) में इकाई का अंक निकालने के लिए हम दिए गए इकाई के अंको की गुणा करेगे
(4 × 8 × 7 × 3) = (48 × 21) = (8 × 1)
इसलिए उपरोक्त संख्या के इकाई का अंक 8 होगा
Q19. (5627)153 × (671)72 में इकाई का अंक कितना है ?
संख्या (5627)153 × (671)72 में इकाई का अंक = (7)153 × (1)72 में इकाई का अंक
(7)153 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक (7) की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है इसलिए
(7)153 = 7(4×38)+1
= 7(4×38) × 71 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}
= (74)38 × 71
(74 = 2401) में इकाई का अंक 1 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा
(71 = 7) में इकाई का अंक 7 है
∴ संख्या (7)153 में इकाई का अंक 1 × 7 = 7 होगा ………………………………1
(1)72 में इकाई का अंक 1 होता है
इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा ………………………………2
(7)153 × (1)72 में इकाई का अंक 7 × 1 = 7 होगा
ie. संख्या (5627)153 × (671)72 में इकाई का अंक 7 होगा
