बीजगणित के सवालों को हल करने के लिए Bijganit ke sutra बताए हुए है निम्नलिखित 21 सवाल जो कि ड़ा आर एस अग्रवाल मैथ से लिए गए है उनको बीजगणित के सूत्र द्वारा हल किया गया है –
इसमें आपको बहुपद क्या होता है, रेखिक बहुपद और द्विघात बहुपद किसे कहते है और बहुपद से सम्बंधित सवाल जवाब समझने को मिलेगे चलिए सुरु करते है –
Bijganit ke sutra – बीजगणित (Algebra) सूत्र
- (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
- (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
- (a2 – b2)= (a + b)(a – b)
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
- (a – b)3 = a3 – b3 – 3a2b + 3ab2
- (a3 – b3) = (a – b)(a2 + b2 + ab)
- (a3 + b3) = (a + b)(a2 + b2 – ab)
- (a3 + b3 + c3 – 3abc) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
- (a + b + c) = 0 ⇒ (a3 + b3 + c3) = 3abc
Bijganit ke sutra और 21 सवाल जवाब –
Q1. 16a4 + 54a = ?
= 2a[8a3+ 27]
= 2a[(2a)3 + (3)3]
= 2a[(2a + 3)(4a2 + 9 – 6a)] {∵ By Formula (a3 + b3) = (a + b)(a2 + b2 – ab)}
= 2a(2a + 3)(4a2 + 9 – 6a)
Q2. (7a3 + 56b3) = ?
= 7[a3 + 8b3]
= 7[(a)3 + (2b)3]
= 7[(a + 2b)(a2 + 4b2 – 2ab) {∵ By Formula (a3 + b3) = (a + b)(a2 + b2 – ab)}
= 7(a + 2b)(a2 + 4b2 – 2ab)
Q3. a3 – 0.064 = ?
= [(a)3 – (0.4)3]
= [(a – 0.4)(a2 + 0.16 + 0.4a) {∵ By Formula (a3 – b3) = (a – b)(a2 + b2 + ab)}
= (a – 0.4)(a2 + 0.16 + 0.4a)
Q4. 32x4 – 500x = ?
= 4a[8a3 – 125]
= 4a[(2a)3 + (5)3]
= 4a[(2a + 5)(4a2 + 25 – 10a)] {∵ By Formula (a3 + b3) = (a + b)(a2 + b2 – ab)}
= 4a(2a + 5)(4a2 + 25 – 10a)
Q5. (x4 + 4) = ?
= [(x2)2 + (2)2 + 4x2] – 4x2
= [(x2 + 2)2] – 4x2
= (x2 + 2)2 – (2x)2 {माना a = (x2 + 2) और b = 2x}
= [(x2 + 2) – 4x][(x2 + 2) + 4x] {∵ By using Formula (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab}
Q6. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = ?
माना A = a – b, B = b – c और C = c – a
यदि A + B + C = 0 है तो (A)3 + (B)3 + (C)3 = 3ABC {∵ By using Formula}
∴ (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)
Q7. (x4 + x2 + 25) = ?
= [(x2)2 + x2 +(5)2]
= [(x2)2 + 10 x2 – 9x2 + (5)2]
= [(x2)2 + 10 x2 + (5)2] – 9x2
= [(x2) + 5]2] – (3)2 {∵ By using Formula (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab}
= [(x2 + 5) – 3][(x2 + 5) + 3] {∵ By using Formula (a2 – b2)= (a + b)(a – b)}
= [(x2 + 5) – 3][(x2 + 5) + 3]
Q8. (x2 – 1 – 2a – a2) = ?
= x2 – (a2 + 2a + 1)
= x2 – (a + 1)2 {∵ By using Formula (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab}
= [x – (a + 1)][x + (a + 1)] {∵ By using Formula (a2 – b2)= (a + b)(a – b)}
= [x – (a + 1)][x + (a + 1)]
बहुपद –
एक ऐसा व्यंजक जो x के विभिन्न घात वाले पदों (n) के रूप में व्यक्त किया गया हो और n एक पूर्ण संख्या हो, बहुपद कहलाता है जेसे – (4x3 – 2x2 + 5x – 8)
बहुपद के प्रकार –
1. रेखिक बहुपद :-
यदि बहुपद में चर (x) की बड़ी से बड़ी घात (power) 1 हो, रेखिक बहुपद कहलाता है जेसे – (5x + 9)
2. द्विघाती बहुपद :-
यदि बहुपद में चर (x) की बड़ी से बड़ी घात (power) 2 हो, द्विघाती बहुपद कहलाता है जेसे – (x2 + 3x – 7)
Q9. निम्न व्यंजको में से बहुपद का चुनाव करे –
a) 2x
b) 1/x + 3
c) √x – 2
d) -5
जेसा कि आपने पढ़ा कि केवल और केवल वही व्यंजक बहुपद होगा जिसके चर (x) की शक्ति एक पूर्ण संख्या हो
∴ 2x, -5 दोनों बहुपद है नोट -5 को हम ऐसे भी लिख सकते है -5x0 (∵ x0 = 1) यहा पर x की शक्ति 1 और 0 है जो कि एक पूर्ण संख्या है
जबकि व्यंजक (1/x + 3) और (√x – 2) में x की शक्ति -1 और 1/2 है जो कि एक पूर्ण संख्या नही है इसलिए ये दोनों बहुपद नही है
Q10. यदि (4 + 2√5) / (4 – 3√5) = a + b√5 हो, तो a = ?, b = ?
बाया पक्ष लेते हुए –
= (4 + 2√5) / (4 – 3√5)
= [(4 + 2√5) / (4 – 3√5)] × [(4 + 3√5) / (4 + 3√5)] {∵ हर का परिमेयकरण करने पर}
= [(4 + 2√5) × (4 + 3√5] / [(4 – 3√5)(4 + 3√5)]
= [(16 + 12√5 + 8√5 + 30)] / [(16 + 12√5 – 12√5 – 45)]
= [(46 + 20√5)] / [(-29)]
= [-46/29 – 20√5/29] ………………………1
वाम पक्ष और दाया पक्ष बराबर रखने पर
[(-46/29) + (-20√5/29)] = a + b√5
∴ a = -46/29 और b = -20√5/29
