त्रिभुज के कोण ज्ञात करना

Q11. दी गई आकृति में ΔABC की भुजा CB को D तक तथा भुँजा BA को E तक बढ़ाया गया है यदि ∠ABD =130° तथा ∠CAE = 80° हो, तो ∠ACB = ?

 

ΔABC में,

∠B = 180° – 130° = 50° [∵ ∠ABD + ∠ABC = 180°]

∠A = 180° – 80° = 100° [∵ ∠EAC + ∠CAB = 180°]

∠ACB + 100° + 50° = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

∠ACB = 30°

Q12. दी गई आकृति में ∠BAC = 40° यदि ∠B तथा ∠C के अर्द्धक क्रमश BO तथा CO हो, तो ∠BOC = ?

ΔABC में,

∠ABC + ∠BCA + 40 = 180° ⇒ ∠ABC + ∠BCA = 140°

(1/2)∠ABC + (1/2)∠BCA = (1/2)140°

∠OBC + ∠BCO = 70° ……………………. 1

∠OBC + ∠BCO + ∠COB = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

∠COB = 110° [∵ समीकरण 1 का प्रयोग करते हुए]

Q13. दी गई आकृति में ∠ACO = 65°, ∠OAC = 45° तथा ∠ODB = 85° हो, तो ∠OBD = ?

ΔAOC में,

65° + 45° + ∠AOC = 180° ⇒ ∠AOC = 70°

∠AOC = 70° = ∠BOD

ΔOBD में,

70° + 85° + ∠OBD = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

∠OBD = 25°

Q14. दिये गये चित्र में ΔABC की भुजाये BC, CA तथा BA क्रमश बिंदु D तक, बिंदु E तक तथा बिंदु F तक बढ़ाई गई है यदि ∠ACD = 140° तथा ∠EAF = 90° हो, तो ∠ABC = ?

ΔABC में,

∠ECB + ∠ECD = 180 ⇒ ∠ECB = 40°

∠BAC = 90° [क्योकि ∠FAE = 90°]

90° + ∠ABC + 40° = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

∠ABC = 50°

Q15. दी गई आकृति में AM ⊥ BC है तथा ∠A का समद्विभाजक AN है यदि ∠ABC = 70° तथा ∠ACB = 30° हो, तो ∠MAN = ?

ΔABC में,

70° + 30° + ∠CAB = 180° ⇒ ∠CAB = 80°

∠CAB = 80° = (1/2)∠BAN = (1/2)∠NAC [∵∠A का समद्विभाजक AN]

ie. ∠BAN = 40°

ΔABM में,

∠BAM + 70° + 90° = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

∴ ∠BAM = 20°

∠MAN = 40° – 20° = 20° [क्योकि ∠BAN – ∠BAM = ∠MAN]

Q16. किसी ΔABC के कोणों का अनुपात 3 : 5 : 7 है ऐसी त्रिभुज है :

ΔABC में,

3X + 5X + 7X = 180 ⇒ 15X = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

X = 12

त्रिभुज के कोणों का मान = 36°, 60°, 84°

इसलिए यह एक न्यूनकोण त्रिभुज है

Q17. दी गई आकृति में x का मान कितना होगा ?

इसमें आपको CD लाइन को लाइन AB पर E बिंदु पर काटना होगा

इसलिए ΔACE में,

∠CEA + 55° + 30° = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

∠CEA = 95°

और ΔDEB में,

∠DEB + 95° = 180° ⇒ ∠DEB = 85°

∠EDB + 45° + 85° = 180° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

∠EDB = 50°

∠EDB + ∠CDB = 180° ⇒ ∠CDB = 130°

Q18. ΔABC की भुजाये BC, CA तथा AB क्रमश बिंदु D, Eतथा F तक बढ़ा दी गई है तथा बाह्य कोण ∠ACD, ∠BAE तथा ∠CBF बनाती है तब ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = ?

∠EAB + ∠CAB = 180° ⇒ ∠EAB = 180° – ∠CAB ……………………… 1

∠ABD + ∠CBF = 180° ⇒ ∠CBF = 180° – ∠ABD ……………………… 2

∠ACD + ∠ACB = 180° ⇒ ∠ACD = 180° – ∠ACB ……………………… 3

∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = (180° – ∠CAB) + (180° – ∠ABD) + (180° – ∠ACB) = [540° – (∠CAB + ∠ABD + ∠ACB)]

∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° – 180° = 360° [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

Q19. दी गई ΔABC में DE ∥ BC यदि AD = 2.4 cm, AE = 3.2 cm तथा EC = 4.8 cm तब, AB = ?

अनुपातिक प्रमेय से,

AD/DB = AE/EC ⇒ 2.4/DB = 3.2/4.8

DB = (3/2)2.4 = 3.6 cm

∴ AB = 2.4 + 3.6 = 6 cm

Q20. दी गई ΔABC में DE ∥ BC यदि AD = 4 cm, DB = 7 cm तथा AC = 6.6 cm तब, AE = ?

अनुपातिक प्रमेय से,

AD/DB = AE/EC ⇒ 4/7 = (6.6 – EC)/EC

4EC = 46.2 – 7EC ⇒ 11EC = 46.2

EC = 4.2 cm

∴ AE = AC – EC = 6.6 – 4.2 = 2.4 cm

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