वृत्त पर आधारित प्रमेय (Important Properties of Circles in Hindi)
1. किसी वृत्त की दो समान जिवाये केंद्र पर समान कोण बनाती है तब ∠AOB = ∠COD
यदि किसी वृत्त की दो जीवाये वृत्त के केंद्र पर समान कोण बनाये, तो ऐसी जीवाये बराबर होती है
2. यदि किसी वृत्त की दो चाप सर्वांगसम हो तो उनकी संगत जीवाये बराबर होती है ie AB = CD
यदि किसी वृत्त की दो जीवाये बराबर हो तो इन जीवाओ से काटी गई चाप बराबर होगी
3. किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है
OL ⊥ AB है तब उपरोक्त प्रमेय से AL = LB
किसी वृत्त के केंद्र तथा इसकी एक जीवा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली जीवा पर लम्ब होती है
4. किसी वृत्त की समान जीवाये केंद्र से समदूरस्थ होती है ie OL = OM
किसी वृत्त की दो जीवाये जो केंद्र से समदूरस्थ है, परस्पर समान होती है
5. तीन असरेख बिन्दुओ से होकर एक और केवल एक वृत्त गुजरता है
6. किसी वृत्त की दो असमान जीवाओ में से बड़ी जीवा, छोटी जीवा की अपेक्षा केंद्र से निकटतर होती है ie OL < OM
किसी वृत्त की दो असमान जीवाओ में से जो जीवा केंद्र के निकटतर होती है, वह बड़ी होती है
7. किसी वृत्त की एक चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण, इस चाप द्वारा शेष वृत्त-खण्ड में किसी बिंदु पर बने कोण का दुगुना होता है मतलब ∠AOB = 2∠ACB
8. एक ही वृत्तखण्ड में बने दो कोण परस्पर समान होते है ie ∠C = ∠D
9. किसी अर्द्ध-वृत्त में बना कोण समकोण होता है ie ∠C = 90
10. किसी वृत्त की लघु-चाप द्वारा एकांतर खण्ड में बना कोण न्यूनकोण तथा दीर्घ-चाप द्वारा बना कोण अधिक कोण होता है
11. एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 होता है ie ∠A + ∠C = 180 = ∠B + ∠D
यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 हो, तो यह एक चक्रीय-चतुर्भुज होगा
प्रत्येक चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है
यदि किसी चतुर्भुज की एक भुजा बढ़ा दी जाये तो इस प्रकार बना बाह्य कोण इसके अभिमुख अंतकोण के बराबर होता है
12. त्रिभुज का अंत:वृत्त (Incircle of a Triangle) :
यदि कोई वृत्त एक त्रिभुज की तीनो भुजाओ को स्पर्श करे तो उसे अंत:वृत्त कहते है
अंत:वृत्त के केंद्र को अंत:केंद्र (Incentre) कहते है
13. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है
वह रेखा जो त्रिज्या के अंतिम सिरे से होकर जाती है तथा त्रिज्या पर लम्ब है, वृत्त की स्पर्श रेखा होती है
किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खीची गई दो स्पर्श रेखाओ की लम्बाईया बराबर होती है
14. यदि PAB एक वृत्त की छेदक रेखा हो जो वृत्त को बिंदु A तथा B पर प्रतिच्छेद करती है तथा PT एक स्पर्श रेखाखण्ड हो, तो PA.PB = PT2 होगा
यदि किसी वृत्त की दो जीवाये वृत्त के अंदर या बढ़ाने पर बाहर प्रतिच्छेद करती हो, तो एक जीवा के दो खण्डो से बने आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है
15. यदि किसी वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्शबिंदु से एक जीवा खीची जाये, तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा के साथ बने कोण, संगत एकांतर खण्डो में बने कोणों के क्रमशः बराबर होते है
यदि वृत्त की जीवा के एक अंतिम बिंदु से होती हुई रेखा और जीवा के बीच का कोण, एकांतर खण्ड में जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर हो, तो यह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है
16. यदि दो वृत्त जिनके केंद्र क्रमशः O तथा O’ है बिंदु A पर स्पर्श करे तो यह बिंदु, OO’ पर स्थित होगा
यदि दो वृत्त एक बिंदु पर स्पर्श करे तो इन वृतो के स्पर्श बिंदु पर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है
