चतुर्भुज के कोण और भुजा निकालना – Quadrilateral class 9 extra questions

Q16. दी गई आकृति में ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है यदि OA = (3x – 1) cm, OB = (2x + 1) cm, OC = (5x – 3) cm तथा OD = (6x – 5) cm हो, तो x का मान क्या होगा ?

ध्यान दे :-

OA/OC = OB/OD ⇒ (3x – 1)/(5x – 3) = (2x + 1)/(6x – 5)

15x² – 9x – 5x + 3 = 12x² – 10x + 6x – 5

3x² – 10x + 8 = 0 ⇒ 3x² – 6x – 4x + 8 = 0

3x(x – 2) – 4(x -2) = 0 ⇒ (x – 2)(3x – 4) = 0

x = 2, 4/3

Q17. चतुर्भुज ABCD में ∠A = (1/2)∠B, ∠B = ∠C + 12° तथा ∠C = 2∠D हो, तो ∠D का मान क्या होगा ?

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° {क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है}

∠D + ∠C + ∠B + ∠A = 360° ⇒ ∠D + [2∠D] + [2∠D + 12°] + (1/2)[2∠D + 12°] = 360°

6∠D + 18 = 360° ⇒ 6∠D = 342°

∠D = 57°

Q18. एक चतुर्भुज ABCD में ∠A = ∠B – 26°, ∠B = 2∠C तथा ∠C = ∠D + 10° हो, तो A = ?

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° {क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है}

∠D + ∠C + ∠B + ∠A = 360° ⇒ ∠D + [∠D + 10°] + 2[∠D + 10°] + [2∠D – 6] = 360°

6∠D + 24 = 360° ⇒ 6∠D = 336°

∠D = 56°

∠C = [∠D + 10°] = 66°

∠B = 2∠C = 132°

∠A = ∠B – 26° = 106°

Q19. किसी आयत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से तीन गुणा है इसकी भुजाओ का अनुपात क्या होगा ?

समकोण त्रिभुज ABC में,

x² + y² = (3y)² ⇒ x² = 8y²

x²/y² = 8/1 ⇒ x/y = 2√2/1

Q20. एक समचतुर्भुज के दो सम्मुख कोणों में से प्रत्येक की नाप 60° है तथा इसकी प्रत्येक भुजा 10 cm लम्बी है इसके छोटे विकर्ण की लम्बाई कितनी है ?

∠DAB = ∠BCD = 60° {क्योकि दिया है}

समचतुर्भुज ABCD में,

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360° {क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है}

∠ABC + 60° + ∠CDA + 60° = 360° ⇒ ∠ABC + ∠CDA = 240

∠ABC = ∠CDA = 120° क्योकि समचतुर्भुज है

∠ADB = ∠ABD = (1//2)∠ABC = 60°

त्रिभुज ABD में,

∠ADB = ∠ABD = ∠DAB = 60° ⇒ त्रिभुज समबाहु है

इसलिए छोटे विकर्ण की लम्बाई (BD) = 10 cm

Q21. एक समांतर चतुर्भुज का एक कोण उसके सबसे छोटे कोण के दुगुने से 30° कम है इसके सबसे बड़े कोण का नाप कितना है ?

माना सबसे छोटा कोण = ∠A = ∠C = x° {क्योकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने के कोण बराबर होते है}

दूसरा कोण = ∠B = ∠D = (2x° – 30°) {क्योकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने के कोण बराबर होते है}

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है

2(x°) + 2(2x° – 30°) = 360° ⇒ 6x° = 420°

x° = 70°

सबसे बड़े कोण की माप = ∠B = ∠D = (2x° – 30°) = 110°

Q22. किस आकृति में कर्ण आपस में लम्बवत होते है ?

Ans. समचतुर्भुज

Q23. किसी समलम्ब चतुर्भुज ABCD की असमांतर भुजाओ AD तथा BC के मध्य बिंदु क्रमशः E तथा F है तब, EF = ?

EF = (AB + CD)/2

Q24. एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का एक जोड़ा क्रमशः (3x – 10)° तथा (x – 80)° है x का मान है :

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है इसलिए (3x – 10)°= (x – 80)°

2x = 90° ⇒ x = 45°