त्रिभुज से संबंधित प्रश्न – Triangle class 10 extra questions in hindi

Q11. किसी त्रिभुज की भुजाओ की लम्बाईया क्रमशः p, q, r है यदि p² + q² + r² = pq + qr + pr हो, तो यह त्रिभुज कोन-सा है ?

p² + q² + r² = pq + qr + pr

2p² + 2q² + 2r² = 2pq + 2qr + 2pr (क्योकि दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर)

(p² + q² – 2pq) + (q² + r² – 2qr) + (r² + p² – 2rp) = 0

(p – q)² + (q – r)² + (r – p)² = 0

(p – q) = 0, (q – r) = 0, (r – p) = 0

p = q, q = r, r = p ⇒ p = q = r

अत दी गई त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है

Q12. किसी त्रिभुज की भुजाये 3 : 4 : 6 के अनुपात में है यह त्रिभुज है

माना त्रिभुज की भुजाए क्रमश = 3x, 4x, 6x

(3x)² + (4x)² = 25x² जो कि c² से छोटा होगा (जहा a = 3x, b = 4x और c = 6x है)

a² + b² < c² इसलिए दिया गया त्रिभुज अधिककोणीय है

Q13. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण त्रिभुज की छोटी भुजा के दुगुने से 1 मीटर कम है यदि तीसरी भुजा सबसे छोटी भुजा से 1 मीटर अधिक हो, तो त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा कितनी है ?

माना त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x, तब कर्ण की माप = 2x – 1

और तीसरी भुजा की लम्बाई = x + 1

(2x – 1)² = x² + (x + 1)² ⇒ 4x² + 1 – 4x = x² + x² + 1 + 2x {क्योकि समकोण त्रिभुज है}

2x² – 6x = 0 ⇒ 2x(x – 3) = 0

x = 0, 3

त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लम्बाई 0 तो हो नही सकती इसलिए 3 होगी

Q14. एक समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा, सबसे छोटी भुजा का 5/3 है इसकी तीसरी भुजा की लम्बाई 8 cm है इस त्रिभुज की सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी भुजाओ का योग कितना है ?

समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x, तभी सबसे बड़ी भुजा = (5/3)x

[(5/3)x]² = x² + 8² ⇒ (25/9)x² = x² + 64

[(4/3)x]² = 8² ⇒ (4/3)x = 8

x = 6 cm और सबसे बड़ी भुजा = 10 cm

योग = 16 cm

Q15. एक त्रिभुज के सबसे बड़े तथा उससे छोटे कोण का अनुपात 3 : 2 है सबसे छोटा कोण इन दोनों कोणों के योग का 20% है सबसे बड़े कोण को छोड़कर शेष दो कोणों का योग कितना है

त्रिभुज के सबसे बडा कोण = 3x और दूसरा कोण = 2x

सबसे छोटा कोण = (1/5)5x = x

3x + 2x + x = 180° क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होत्ता है

x = 30°

सबसे बड़े कोण को छोड़कर शेष दो कोणों का योग = 60° + 30° = 90°

Q16. एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लम्बाई 126 cm है अन्य भुजा तथा कर्ण के बीच का अंतर 42 cm है कर्ण की लम्बाई कितनी है ?

(x + 42)² = x² + 126²

x² + 42² + 84x = x² + 126²

84x = 126² – 42²⇒ 84x = (42×3)² – 42²

84x = 42²(9 – 1)⇒ x = 168

कर्ण की लम्बाई = 168 + 42 = 210 cm

Q17. एक त्रिभुज का एक कोण (π/4)^c तथा (π/6)^c है तीसरे कोण का माप क्या होगा ?

त्रिभुज का पहला कोण = [(π/4) × (180/π)]° = 45°

इसी प्रकार दूसरा कोण = [(π/6) × (180/π)]° = 30°

त्रिभुज का तीसरा कोण = 180° – (45° + 30°) = 105°

Q18. एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाये जो समकोण बनाती है क्रमशः 5x cm तथा (3x – 1) cm लम्बी है यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 cm² हो, तो त्रिभुज की भुजाये है :

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 60 cm²

(1/2) × आधार × ऊंचाई = 60

(1/2) × 5x × (3x – 1) = 60

15x² – 5x = 120

15x² – 5x – 120 = 0 ⇒ 3x² – x – 24 = 0

3x² – 9x + 8x – 24 = 0⇒ 3x(x – 3) + 8(x – 3) = 0

(3x + 8)(x – 3) = 0 ⇒ x = 3

त्रिभुज की भुजाये है : 15 cm, 8 cm, 17 cm

Q19. ΔABC में ∠C = 90° तथा बिंदु C से कर्ण AB पर खीचा गया लम्ब CD है तब निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन-सा है ?

1. 1/CD² = 1/BC² + 1/CA²
2. 1/CD² = 1/CA² + 1/AD²
3. 1/CD² = 1/CB² + 1/BD²

हल :- sinA = लम्भ/कर्ण = CD/AC

sinB = लम्भ/कर्ण = CD/BC और sinB = sin(90 – A) = cosA

sin²A + cos²A = 1 [using this फार्मूला]

(CD/AC)² + (CD/BC)² = 1

1/AC² + 1/BC² = 1/CD²

इसलिए आप्शन 1 सही है

Q20. दिये गये ΔABC में AD एक मध्यिका है तथा AD का मध्य बिंदु E है BE को मिलाकर आगे बढ़ाने पर यह AC को F पर काटती है तब निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन सा है ?

1. AF = AC/4
2. AF = AC/2
3. AF = AC/3
4. AF = 2AC/3

हल :- सबसे पहले हमे एक line EF के समानातर खिचे जो line FC को G बिंदु पर काटे

AE = ED ⇒ AF = FG

BC का मध्य बिंदु D है तथा DG ∥ BF

अत CF का मध्य बिंदु G है इसलिए CG = GF

और (AF = FG = GC) ⇒ AF = (1/3)AC

आप्शन 3 सही है