बहुभुज की परिभाषा, भुजा और विकर्ण की संख्या – Polygon meaning in hindi

बहुभुज के प्रश्न :-

Q1. एक पंचभुज के 4 कोणों के माप क्रमशः 130, 85, 108, 82 है पांचवे कोण का माप कितना होगा ?

किसी पंचभुज के 5 कोणों का योग = (2×5 – 4) × 90 = 540°

पांचवे कोण का माप = 540 – (130 + 85 + 108 + 82) = 135°

Q2. एक सप्तभुज के कोण 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 7 : 8 के अनुपात में है इसका न्यूनतम कोण कितना है ?

माना सप्तभुज के सातों कोण क्रमशः = 1x, 2x, 3x, 4x, 5x, 7x, 8x

सप्तभुज के सात कोणों का योग = (2×7 – 4) × 90 = 900

(1x + 2x + 3x + 4x + 5x + 7x + 8x) = 900

30x = 900 ⇒ x = 30

इसलिए न्यूनतम कोण = 1x = 30°

Q3. किसी अष्टभुज के सभी कोणों का योग कितना है ?

अष्टभुज के सभी कोणों का योग = (2×8 – 4) × 90° = 1080°

Q4. एक बहुभुज के अंतःकोण समांतर श्रेढ़ी में है जिसका सार्वअंतर 5 है यदि इसका सबसे छोटा कोण 120 हो, तो इसकी भुजाओ की संख्या कितनी है ?

माना बहुभुज में भुजाओ की संख्या = n

बहुभुज के सभी कोणों का योग = (n/2)[2a + (n – 1)d] जहा पर a = 120 है और d = 5

= (n/2)[240 + 5(n – 1)] = (n/2)[235 + 5n] ………………… 1

बहुभुज के सभी कोणों का योग = (2n – 4) × 90 {∵ By Formula}

(n/2)[235 + 5n] = (2n – 4) × 90

n[235 + 5n] = (2n – 4) × 180

235n + 5n² = 360n – 720

5n² – 125n + 720 = 0 ⇒ n² – 25n + 144 = 0

n² – 16n – 9n + 144 = 0 ⇒ n(n – 16) -9(n – 16) = 0

(n – 16)(n – 9) = 0 ⇒ n = 16, 9

यदि n = 16 तो सबसे बड़ा कोण = a_n = (120 + 15×5) = 195 जो कि सम्भव नही है

Q5. एक n भुजा वाले बहुभुज की भुजाओ को एक ही क्रम में बढ़ाने से बने बहिषकोणों का योग कितना है ?

n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है {∵ By Formula}

Q6. एक अष्ट भुज के कितने विकर्ण होते है ?

n भुजाओ की बहुभुज में विकर्ण की संख्या = {n(n – 1)/2 – n} {∵ By Formula}

इसलिए अष्टभुज में विकर्ण की संख्या = {8(8 – 1)/2 – 8} = 20

Q7. 100 भुजाओ वाले बहुभुज में विकर्ण की संख्या कितनी है ?

100 भुजाओ वाले बहुभुज में विकर्ण की संख्या = {100(100 – 1)/2 – 100} [∵ By Formula]

⇒ {9900/2 – 100} = 4850

Q8. एक बहुभुज के 27 विकर्ण है इसकी भुजाओ की संख्या कितनी है ?

बहुभुज में विकर्ण की संख्या = {n(n – 1)/2 – n} {∵ By Formula}

27 = (n² – n)/2 – n

54 = (n² – n – 2n)

n² – 3n – 54 = 0 ⇒ n² – 9n + 6n – 54 = 0

n(n – 9) + 6(n – 9) = 0 ⇒ (n – 9)(n + 6) = 0

n = 9

Q9. किसी समबहुभुज के बाह्य तथा अंतःकोण 1 : 4 के अनुपात में है बहुभुज की भुजाओ की संख्या कितनी है ?

माना समबहुभुज के बाह्य तथा अंतःकोण क्रमशः = 1x°, 4x°

प्रत्येक बाह्य और अंतःकोण का योग = 180

इसलिए (1x + 4x) = 180 ⇒ x = 36

बहुभुज की भुजाओ की संख्या = सभी बाह्य कोणों का योग / प्रत्येक बाह्य कोण {Please Note this}

⇒ 360/36 = 10 {∵ n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है}

Q10. किसी समबहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण 150° है इसकी भुजाओ की संख्या कितनी है ?

समबहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण = 150° इसलिए बाह्य कोण = 180° – 150° = 30°

बहुभुज की भुजाओ की संख्या = सभी बाह्य कोणों का योग / प्रत्येक बाह्य कोण {Please Note this}

⇒ 360/30 = 12 {∵ n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है}