Q11. (3a – 1)2 – 6a + 2 = ?
= (9a2 + 1 – 6a) – 6a + 2
= 9a2 – 12a + 3
जब हमारे पास ऐसी समीकरण को हल करना हो अर्थात a का मान निकालना हो तो, हमे ऐसे दो अंक फाइंड करने है जिनके अंको की गुणा 27 और जोड़ -12 हो
अंक -3 और -9 है जिनके अंको का योग -12 है और गुणा 27 है
∴ 9a2 – 3a – 9a + 3 {इस स्टेप को ध्यान से देखे जो कि (9a2 – 12a + 3) के बराबर है}
= 3a(3a – 1) – 9a + 3 {(3a) common लेने पर}
= 3a(3a – 1) – 3(3a – 1) {ध्यान रहे हमे समीकरण की ऐसी ही फॉर्म बनानी है}
= (3a – 3)(3a – 1)
Q12. x2 – (a + b)x + ab = ?
आपके लिए सामान्य process को follow करते हुए केसे हम x का मान निकलते है बताया गया है अगर हमे ऐसी समीकरण मिलती है तो हम इस process को follow करके हल निकाल सकते है बड़ी आसानी से
= x2 – ax – bx + ab
= x(x – a) – b(x – a)
= (x – b)(x – a)
Q13. (x2 + 5x – 24) = 0 समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए ?
जेसा कि सवाल नम्बर 11 और 12 को हल किया गया है ठीक उसी प्रकार हमे इसे भी हल करना होगा अर्थात हमे ऐसे दो अंक फाइंड करने है जिनका योग 5 हो और गुणा 24 जरा सोचिए और बताइए
अगर आपको ये अंक निकलने में समस्या आ रही है तो आप 24 के गुणनखण्ड करके आसानी से पता लगा सकते है जेसे 24 = 2 × 2 × 2 × 3, जो अंक दिखाई दे रहे है (2, 2, 2, 3) इनको आपस में एक दुसरे के साथ गुणा करके आप जरुरतमन्द अंक प्राप्त कर सकते है जेसे – (8, 3), (4, 6), (2, 12)
केवल और केवल (8, 3) की गुणा 24 और जोड़ 5 हो सकता है जब हम 3 को घटा का ले
∴ ये दो अंक है 8, -3
x2 + 5x – 24 = 0
x2 + 8x – 3x – 24 = 0
x(x + 8) – 3(x + 8) = 0
(x – 3)(x + 8) = 0
(x – 3) = 0, (x + 8) = 0
x = 3, x = -8
Q14. 6x2 + 7x – 3 = ?
जेसा कि सवाल नम्बर 11 में बताया गया था कि समीकरण को हल करने के लिए ऐसे दो अंक फाइंड करने है जिनके अंको का योग 7 और गुणा 6×3 = 18 हो
18 के गुणनखण्ड – 2, 3, 3; (2, 9), (6, 3)
∴ ये दो अंक है – 2, 9
= 6x2 + 7x – 3
= 6x2 + 9x – 2x – 3
= 3x(2x + 3) – 1(2x + 3)
= (3x – 1)(2x + 3)
Q15. 6 – x – x2 = ?
= -1(x2 + x – 6)
= -1[x2 + 3x – 2x – 6] {गुणा -6 और जोड़ 1 है केवल और केवल (3, -2)}
= -1[x(x + 3) -2(x +3)]
= -1[(x – 2)(x +3)]
= (2 – x)(x + 3)
Q16. 2x2 – x – 21 = 0 समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए ?
ऐसे दो अंक जिनका योग -1 हो और गुणा -21×2 = -42 हो
42 के गुणनखण्ड – 2 × 3 × 7; (6, 7), (2, 21)
∴ (-7, 6) ऐसे दो अंक है जिनका योग -1 है और गुणा -42
2x2 – 7x + 6x – 21 = 0
x(2x – 7) + 3(2x – 7) = 0
(x + 3)(2x – 7) = 0
(x + 3) = 0, (2x – 7) = 0
x = -3, x = 7/2
अगर आपको अब भी यह विधि कठिन लगती है तो आप विविक्तकर (Discriminanat) विधि से भी उपरोक्त सवालों को हल कर सकते है –
2x2 – x – 21 = ax2 + bx + c से तुलना करने पर a = 2, b = -1 और c = -21
D = b2 – 4ac = (-1)2 – 4×2×-21 = 1 + 168 = 169
विविक्तकर (Discriminanat) विधि समीकरण के मूल (x) = (-b ± √D) / 2a
= (1 ± √169) / 4 = (14/4, -12/4)
x = 14/4 = 7/2, x = -12/4 = -3
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Q17. 2x2 + 3√3x + 3 = ?
ऐसे दो अंक जिनका योग 3√3 हो और गुणा 2×3 = 6 हो
∴ (2√3, √3) ऐसे दो अंक है जिनका योग 3√3 है और गुणा 6
= 2x2 + 2√3x + √3x + 3
= 2x(x + √3) + √3(x + √3)
= (2x + √3)(x + √3)
Q18. √2x2 + 3x + √2 = ?
ऐसे दो अंक जिनका योग 3 हो और गुणा √2×√2 = 2 हो
∴ (2, 1) ऐसे दो अंक है जिनका योग 3 है और गुणा 2
= √2x2 + 2x + 1x + √2
= √2x(x + √2) + 1(x + √2)
= (√2x + 1)(x + √2)
Q19. 8a2 – 27ab + 9b2 = ?
ऐसे दो अंक जिनका योग -27 हो और गुणा 9×8 = 72 हो
72 कर गुणनखण्ड – 2, 2, 2, 3, 3; (24, 3), ……
∴ (-24, -3) ऐसे दो अंक है जिनका योग -27 है और गुणा 72
= 8a2 – 24ab – 3ab + 9b2
= 8a(a -3b) – 3b(a – 3b)
= (8a – 3b)(a – 3b)
Q20. ऐसा समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल 1/2 तथा 1/3 हो ?
समीकरण ज्ञात करने के लिए हम दिए गए मुलो को निम्न दी गई फॉर्म में रखेगे
x2 – (α + β)x + αβ = 0 जहा पर α तथा β समीकरण के मूल है
∴ (α + β) = (1/2 + 1/3) = 5/6 और αβ = (1/2)×(1/3) = 1/6
x2 – (5/6)x + (1/6) = 0 {∵ उपरोक्त फॉर्म में (α + β) और αβ का मान रखने पर}
6x2 – 5x + 1 = 0 {∵ 6 common लेने पर}
