Q31. द्विघात समीकरण 4x2 + 4x + 1 = 0 के मूल केसे होगे ?
द्विघात समीकरण के मुलो का स्वभाव जानने के लिए हम D का मान निकालेगे
D = b2 – 4ac {By Formula}
सबसे पहले हमे a, b, c के मान निकलने होगे इसलिए हम उपरोक्त समीकरण की ax2 + bx + c = 0 से तुलना करेगे
∴ a = 4, b = 4, c = 1
D = 42 – 16 = 0
∴ समीकरण के मूल परिमेय और समान होगे
Q32. p के किस मान के लिए समीकरण x2 – 4x + p = 0 के मूल भिन्न तथा वास्तविक होंगे ?
हम जानते है कि किसी भी द्विघात समीकरण के मूल भिन्न और वास्तविक तभी होगे जब D का मान 0 से बड़ा आए
ie. D > 0 ⇒ (b2 – 4ac) > 0
सबसे पहले हमे a, b, c के मान निकलने होगे इसलिए हम उपरोक्त समीकरण की ax2 + bx + c = 0 से तुलना करेगे
∴ a = 1, b = -4, c = p
(b2 – 4ac) > 0
(-4 2 – 4p) > 0 ⇒16 – 4p > 0
16 > 4p ⇒ 4 > p
p < 4
Q33. एक द्विघात समीकरण के मुलो का योगफल -2 तथा गुणनफल -4 है यह समीकरण होगी ?
समीकरण निकलने के लिए हमे मुलो के मान को एक जनरल फॉर्म में रखना होता है
वह फॉर्म है ⇒ x2 + (α + β)x + αβ = 0 जहा α और β समीकरण के मूल है
∴ x2 + (-2)x + (-4) = 0
x2 – 2x – 4 = 0
Q34. यदि समीकरण 3x2 + 5x – 7 = 0 के मूल α तथा β हो, तो (1/α + 1/β) = ?
सबसे पहले हमे समीकरण के मूल निकालने होंगे इस समीकरण के मूल हम विविक्ताकर विधि से निकालेगे क्योकि हम 21 के गुणनखण्ड को ऐसे दो अंको में नही तोड़ सकते जिनका योग 5 हो और गुणा 21
विविक्त्कर विधि से मूल निकालने का सूत्र = (-b ± √D) / 2a जहा D = b2 – 4ac है
नोट :- अगर आप ऐसे मूल निकालेगे तो आपका टाइम खराब होगा आप डायरेक्ट मुलो का योग और गुणनफल समीकरण से पता कर सकते है
अगर समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल α और β है तो
α + β = -b/ a और αβ = c/a
∴ α + β = -5/3 और αβ = -7/3 …………………..1
(1/α + 1/β)
= (β + α) / αβ
= (-5/3)/(-7/3)
= 5/7
Q35. एक द्विघात समीकरण के मूल (2 + √5) तथा (2 – √5) है यह समीकरण है ?
समीकरण निकलने के लिए हमे मुलो के मान को एक जनरल फॉर्म में रखना होता है
वह फॉर्म है ⇒ x2 + (α + β)x + αβ = 0 जहा α और β समीकरण के मूल है
∴ α + β = (2 + √5) + (2 – √5) = 4 और
αβ = (2 + √5)(2 – √5) = 4 – 5 = -1
x2 + (α + β)x + αβ = 0
x2 + 4x – 1 = 0 {∵ α + β = 4, αβ = -1}
Q36. यदि x2 + px + q = 0 के मूल α तथा β हो, तो (α/β + β/α) का मान कितना होगा ?
(α/β + β/α) = (α2 + β2) / αβ ………………….1
डायरेक्ट विधि से (α + β) = -b/a और αβ = c/a
सबसे पहले हमे a, b, c के मान निकलने होगे इसलिए हम उपरोक्त समीकरण की ax2 + bx + c = 0 से तुलना करेगे
∴ a = 1, b = p, c = q
(α + β) = -b/a = -p
(α + β) = = -p ………………….2
αβ = c/a = q ………………….3
समीकरण 1 का स्क्वायर लेने पर
(α + β)2 = (-p)2
α2 + β2 + 2αβ = p2
α2 + β2 + 2q = p2
α2 + β2 = p2 – 2q ………………….4
समीकरण 1 में मान रखने पर
(α/β + β/α) = (p2 – 2q) / q
Q37. यदि 3x2 + 8x + 2 = 0 के मूल α तथा β हो, तो (α3 + β3) = ?
इस समीकरण के मूल हम तीन तरीको से निकाल सकते है पहला गुणनखण्ड विधि दूसरा विविक्त्कर विधि और तीसरा डायरेक्ट विधि से
इस द्विघात समीकरण के मूल हम डायरेक्ट विधि से निकालेगे –
डायरेक्ट विधि से (α + β) = -b/a और αβ = c/a
सबसे पहले हमे a, b, c के मान निकलने होगे इसलिए हम उपरोक्त समीकरण की ax2 + bx + c = 0 से तुलना करेगे
∴ a = 3, b = 8, c = 2
(α + β) = -b/a = -8/2
(α + β) = = -4 ………………….1
αβ = c/a = 2/3 ………………….2
समीकरण 1 का क्यूब लेने पर
(α + β)3 = (-4)3
(α3 + β3 + 3α2β + 3αβ2) = -64
(α3 + β3) + 3αβ(α + β) = -64
(α3 + β3) + 3(2/3)(-4) = -64
(α3 + β3) – 8 = -64
(α3 + β3) = -56
हम द्विघात समीकरण को गुणनखण्ड विधि और विवित्क्तर विधि से तो हल कर सकते है इसके साथ साथ आप द्विघात समीकरण को सवाल नम्बर 15 की तरह भी हल कर सकते है लेकिन सबसे आसान गुणनखण्ड विधि ही है
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