Q21. दो संख्याओ के महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्त्य का योग 680 है यदि लघुत्तम समापवर्त्य, महत्तम समापवर्तक का 84 गुणा हो तथा एक संख्या 56 हो, तो दूसरी संख्या क्या होगी ?
म.स. + ल.स. = 680 ……….. 1
84(म.स.) = ल.स. …………. 2
समीकरण 1 में समीकरण 2 का मान रखने पर
म.स. + 84(म.स.) = 680
85 (म.स.) = 680 ⇒ म.स. = 8
∴ ल.स. = 84(8) = 672 {∵ म.स. का मान समीकरण 2 में रखने पर}
पहली संख्या × दूसरी संख्या = म.स. × ल.स.
56a = 8 × 672 ⇒ a = 96
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Q22. दो संख्याओ का लघुत्तम समापवर्त्य 120 है (8, 12, 24, 35) में से कौन-सी संख्या इन संख्याओ का महत्तम समापवर्तक नही हो सकती ?
दो संख्याओ का म.स. इन संख्याओ के लघुत्तम समापवर्त्य को सदेव पूर्णतया विभक्त करता है अत किन्ही दो संख्याओ का ल.स. 120 तथा म.स. 35 नही हो सकता
Q23. ऐसी संख्याओ के कितने जोड़े होंगे जिनका महत्तम समापवर्तक 16 तथा लघुत्तम समापवर्त्य 136 हो ?
दो संख्याओ का म.स. इन संख्याओ के ल.स. को सदेव पूर्णतया विभक्त करता है अत ऐसी संख्याओ का कोई जोड़ा नही है
Q24. वह न्यूनतम पूर्ण वर्ग संख्या क्या होगी जो 12, 15 तथा 25 से पूर्णतया विभक्त हो ?
हल :-
संख्या 12, 15 तथा 25 का ल.स. = 3 × 5 × 4 × 5
⇒ 3 × 5 × 4 × 5 = 3 × 2 × 2 × 5 × 5
मतलब न्यूनतम पूर्ण वर्ग संख्या = 32 × 22 × 52 = 900 होगी जो 12, 15 तथा 25 से पूर्णतया विभक्त होगी
Q25. वह न्यूनतम संख्या कौन-सी है जिसे 8, 10 अथवा 12 से विभक्त करने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष बचे ?
हल :-
संख्या 8, 10 तथा 12 का ल.स. + 7 = वह न्यूनतम संख्या
(2 × 2 × 2 × 5 × 3) + 7 = 127
Q26. वह छोटी से छोटी संख्या कौन-सी है जिसमे से 11 घटाने पर प्राप्त शेषफल 14, 15, 21, 32 तथा 60 में से प्रत्येक से पूर्णतया विभक्त हो जाये ?
हल :-
संख्या 14, 15, 21, 32 तथा 60 का ल.स. + 11 = वह न्यूनतम संख्या
(2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 8) + 11 = 3371
Q27. वह छोटी से छोटी संख्या कौन-सी होगी जिसे 5, 6, 8, 9, 12 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 1 शेष बचे परन्तु 13 से पूर्णतया विभक्त हो ?
हल :-
(संख्या 5, 6, 8, 9, 12 का ल.स.)k + 1 = 13 का पूर्णाक
(2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 3)k + 1 = 13 का पूर्णाक
360k + 1 = 13 का पूर्णाक
ऐसा केवल और केवल तभी सम्भव है जब k का मान 10 हो
∴ अभीष्ट संख्या = 360×10 + 1 = 3601
Q28. वह छोटी से छोटी संख्या कौन-सी है जिसे क्रमशः 12, 15 तथा 16 से भाग देने पर 7, 10 तथा 11 शेष बचे ?
हल :-
(संख्या 12, 15 और 16 का ल.स.) – 5 = अभीष्ट संख्या (कृपया ध्यान दे)
{∵ प्रत्येक दशा में केवल 5 बचता है}
(2 × 2 × 3 × 5 × 4) – 5 = 235
Q29. 1856 में से कौन-सी न्यूनतम संख्या घटाई जाये कि शेषफल को 7, 12 और 16 से विभक्त करने पर प्रत्येक दशा में शेष 4 बचे ?
हल :-
(संख्या 7, 12 और 16 का ल.स.) = (4 × 7 × 3 × 4)
= 336
संख्या 1856 को 336 से भाग देने पर शेषफल = 176
इसलिए अभीष्ट संख्या = 176 – 4 = 172
Q30. वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन-सी है जिसे 5834 में से घटाने पर प्राप्त संख्या 20, 28, 32 तथा 35 में से प्रत्येक से पूर्णत विभक्त हो ?
हल :-
(संख्या 20, 28, 32 और 35 का ल.स.) = (4 × 7 × 5 × 8) = 1120
1120k = 5834 – x {जहा k कोई अंक है जिससे की गुणा करने पर 5834 से कम प्राप्त हो; और x वह संख्या जिससे घटाने पर प्रत्येक से पूर्णत विभक्त हो}
1120 × 5 = 5834 – x
x = 234
